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〈特别关注〉数型结合巧解题
央视国际 2003年06月05日 11:17
嘉宾：张小英 清华大学附属中学 数学特级教师
刘文武 北京市第十二中学 数学特级教师
主持人胜春：亲爱的观众们，大家好，欢迎各位继续收看《当代教育》的系列节目《高考大咨询》，我是胜春。在今天我们的节目时间里，首先让我们认识一下我们演播室当中请来的两位嘉宾。好，两位嘉宾你们好欢迎你们再次来到我们的《高考大咨询》的演播室。今天我们还是就数学的相关问题跟大家进行现场的咨询。在我们上期节目当中有关数学的咨询方面我们也谈到了一个数学的数形结合的这样一种方法，在数学的应用是非常广泛的，能不能就这一点给我们大家解释一下，这种数形结合的这种思考方式对我们解答高考当中的这几类题型比如说选择题、 填空题、 解答题具体会有什么样的帮助呢？
嘉宾：高考近几年的题目几乎每一个试题，都注重了数学思想方法的考察。数形结合的思想方法，它的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来。它在解选择题和填空题的时候非常有用，在解高考大题的时候也可以帮助打开思路。选择题填空题它不需要你写解答过程，那么用数形结合的方法，尤其是用图形，给出这个图形我特别直观地就能够把这个题的答案也可能就看出来了。
像北京市2002年的高考数学第2题：在平面直角坐标系中，已知两点，A坐标是（Cos80，Sin80），B（Cos20，Sin20）。那么则AB的长度的值是什么？这个题目如果有意识地运用数形结合思想呢，我们看到A（Cos80，Sin80），就可以想到它是单位圆上的一个点。看到B（Cos20，Sin20），也可以想到它是单位圆上的一个点。这两个点与坐标原点连接起来得到的角AOB，就应该是80度减20度，等于60度。这时候呢三角形AOB就是一个等边三角形。那么第三边的长度就和两腰相等。而单位圆的半径就是1。所以这时候呢答案根本不用算，眉头一皱，仔细一想就出来了。这正是这几年考试中心里面命题的时候提倡的：多考一些想的，少考一些算的。如果考生能够掌握这样的方法，就可以使这个题目答题非常简捷。
主持人胜春：实际上是等于提高了我们这个答题的效率。
嘉宾：填空题也是一样。填空题由于是简答题，它不需要书写过程，只需要填写一个正确答案。所有的解题过程都可以在草稿纸上做。那么你如果能够形数结合，勾勒一个草图，往往就可以帮助你找到题目的正确解答。有这么一个考试题：直线L过抛物线的交点，并且与X轴垂直。若L被抛物线截得的线段长为4，则A等于什么如果？我们的形数结合意识比较强呢，在草稿纸上画出来草图，过抛物线的交点与它的对称轴垂直的这条线段，恰好就是抛物线的通径。马上就可以从已知条件想到它的通径的长是4，那么我们也是那么一想，就可以把这个题目的答案找到。这就避免了许多冗长的计算，使这个填空题的解答变得非常巧妙。
嘉宾：我觉得刘老师刚才说的两个例子非常好。第一个例子呢，实际上它就是由数到形。第二个例子呢，就是由形到数。它恰好就反映了数形结合的特点。那么有的时候往往就是这样给出函数的图象，我们容易想到一个数形结合的方法，去解这样的选择题。那么给出曲线方程，我们也容易想到这个曲线的形状是什么样的，然后结合曲线的性质，我们再来解这道题，都是可以想得到的。但是往往有的题目，比如给出一个方程，然后我们怎样由这个方程想到它的形，然后根据它的几何意义，我们再去解这道题。那就是由数到形恰好呢，就是在这方面，对同学们的能力要求应该是提高了一些。
早些年的时候，国家的高考是在选择题和填空题的部分，提倡用形数结合的方法，而在高考大题里面的话，允许打开思路。在表述上有严格要求，就是不大提倡。而去年到今年，由于数学思想的地位越来越重要，那么就提出来形数结合的思想，也应该能够在高考的大题里面运用。现在北京市的考试答案和全国的试题分析，也都在高考的大题里面，明确给出了用形数结合的方法，来解答高考大题。如果我们遇到解答题有这样的题目，比如函数的图象和性质，比较明显曲线的方程又给得非常直接，那么这种情况下，我们当然可以优先考虑用数形结合的方法。那么在应用数形结合方法的时候，同学们一定不要忘记图形要画得准确。
主持人胜春：说到这儿呢，我们也采访了一些高三的学生，他们就说呢在学习当中有一些困惑，我们先看看片子听听他们是怎么说的。
学生采访：有的时候感觉做最后一道大题的时候，就容易陷入思维定式。之后对于你的解题非常有限制，做起来呢容易陷入那种大量的计算当中，这是非常痛苦的。比如说在做卷子的时候，看到旁边别的同学在做同样一道题的时候，很快地就做完了，然后几步的运算。但是我有时候可能很长间这道题都解不出来，所以我很着急。平时在做题的时候，老师也讲很多，比如说像通法像这样的题。也许你计算很麻烦，但是应该说是能够解出来的。可是往往在考试当中，在有限的时间里把题解对，真的很麻烦。经常是用一个方法算了半天，但是到最后又算不下去了，又想不出别的方法。这样就使心理状态也变得非常不好。
主持人胜春：那刚才看过这段片子之后，两位老师说说，你们的听了他们的这些想法之后，你们有什么建议？
嘉宾：这位同学刚才提到的解题思路打不开的问题，就和能不能正确地选择方法，能不能巧用数学思想很有关系。如果我们有意识地运用数形结合的思想，就可以使高考的有些比较复杂并且比较大的题变得比较小、比较巧。数形结合的思想方法呢，经常在以下知识方面得到应用。比如函数的图象和性质、三角函数和反三角函数的图象和性质。再有呢就是与解方程解不等式有关的问题，再有就是复数概念它的几何意义问题，再有一个呢那就是解析几何中的有关的问题的计算。这些问题我们应该优先考虑到用数形结合的方法去解题，这样可以节省好多的时间。
主持人胜春：有的时候会不会出现这种情况，因为我们离高考很近了，这段时间可能有些同学，他想在数学方面再加把劲，再突击一下，这个快速地锻炼答题，对他们有帮助么？
嘉宾：我觉得这个应该是它有前提的。那就是说同学他的层次不一样，程度也不一样，所以这个时候我觉得应该是在常规解法的前提之下，在掌握了基础知识、基本技能的这种前提之下，然后呢再重点地加强一下，一些特殊方法的训练，还是非常有必要的。
主持人胜春：那刚才两位老师都谈到，在参加数学高考的时候，如何掌握好这个数形结合的思想方法，对我们答题取得好的成绩，是非常有帮助的。那么在这个即将要高考短短的时间内，作为我们考生来讲，怎么可能在这个短时间内，更好地掌握这种数学方法。两位能不能结合你们自己多年的教学经验，给大家介绍介绍。
嘉宾：我和张老师总结了一些形数结合，互相转化的一些要点，我们把这些要点呢，介绍给同学们，可能会对你有所帮助，希望对你们参加高考有所帮助。遇到一次函数表达式ax＋b，那么我们就联想，y＝ax＋b迅速地转化成一条直线。遇到二次三项式，我们要马上联想抛物线，它是开口向上还是向下它的基本位置。遇到指数函数、对数函数这样的表达式，要马上想到指数函数对数函数的图象。遇到算术根下面平方和的形式，我们要有意识地联想两点间的距离公式。有了它们的图形表示，那么有些方程的问题，有些不等式的解的问题，通过图象上就可以迅速地判断。
主持人胜春：衷心地希望老师精心总结的这些秘诀，能给我们考生带来帮助。也希望我们的节目能对我们的考生有所帮助。那在这里我们再次感谢两位嘉宾，也感谢观众朋友收看我们这一期《高考大咨询》节目，咱们下期节目再会。
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