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【名师在线高考大咨询】——数学篇
央视国际 2003年05月16日 09:28
高考已到了最后冲刺的阶段，因遭遇“非典”，考生不得不停课在家复习。为了保证考生在复习中遇到的问题能及时得到解答，尽量减少停课放假造成的不利影响，5月15日至16日，CCTV.com、《当代教育》联合邀请北京多所重点中学各科知名教师坐客央视国际网站，为考生在线咨询，答疑释惑。
15日晚19：00－21：00，北京市12中学数学教研组长刘文武为6000多名网友就备战高考数学方面的问题进行了解答。
开场白
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《当代教育·高考大咨询》编导延宏 |
【《当代教育·高考大咨询》编导】大家好，我是《当代教育》栏目的编导，在今年的《高考大咨询》节目中，担任《解读考试说明——数学篇》的编导，希望我们的节目对大家有所帮助。
【刘文武】同学们好，距离高考还有三周时间，今天借用央视网站来回答同学们一些问题，希望能够给同学们的备考提供一些帮助，在备考的最后阶段，同学们要注意梳理知识网络，能够居高临下的把握数学学科知识系统的内在联系，掌握数学思想方法，掌握解题策略，培养一个良好的心态，勇敢的迎接国家的检验。
关于考试难度、考试比重及应试技巧
【聒噪41】老师您好：请问今年的数学试卷在难易程度上会有什么安排？基础分会占多大的成分？
【刘文武】按照考试说明的说法，试题的难易比例3：5：2，也就是说，基础性的题目要占到80％，也就是120分，今年的试卷的难度会和去年一样，保持在0.60左右。
【7毫米】老师你好，我是新课程的考生，请问今年新课程高考的重点是什么，与以往旧教材相比，新增加的内容会以怎样的比重出现！
【刘文武】新课程内容考试的重点，考试说明当中也早有说明，它也是平时教学的重点，比如函数知识、不等式与数列、空间直线与平面的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系等等，新教材增加的内容比如概率、导数都会考到，但都是基础要求，不会出很难的题。
【st032】应用题:老师能否讲一讲关于做应用题的技巧和方法？现阶段应怎么复习应用题？
【刘文武】应用题的问题主要靠平常的积累，因为它考的是同学们的阅读理解能力以及动手实践的能力和建立数学模型的能力。近几年的高考应用题贴近生活、关注社会热点，比如环保、人口、资源、汽车等等。但是，它所用到的数学知识，绝大部分是课本中讲过的，有少数应用题并不用到多少高深的数学知识，而是考考生的思维能力以及对于生活经验的积累。在做应用题时，首先要能够读懂题意，最好能够画一张图，把题目当中的已知条件都标上去，然后分析题目的内容是数学当中的什么问题，比如，是函数问题还是不等式问题，还是数列问题，还是三角函数问题。这就是说，要能够归类到一定的数学模型，当你能够建立数学模型的时候，剩下的问题就是把这个模型解出来，然后再反演到原来的问题当中去。请同学们注意一下近五年的高考数学应用题，仔细学习他们的解题思路和方法，从中体会如何建立数学模型。
【果果83102】选择题是不是有所谓的技巧？
【刘文武】数学选择题是高考数学三大基本题型之一，一组高考数学选择题，只要备题充分的扬长避短，运用好群体效应，就能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本的数学思想方法的全面考察。能比较确切地测试考生对概念、原理、性质、法则、定理和公式的理解和掌握程度，还能在一定程度上有效考察逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力以及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力。2003年的高考数学试卷（全国卷）仍将有12个选择题，每题5分，共计60分，占总分150分的40％。而去年全国卷的难度为0.60，即平均分为90，而60分占90分的比例为三分之一。约67％。可见选择题的成功率对于全卷的成功来说多重要。从选择题的结构特征、命题方法可以寻找并总结出一些简捷巧妙的解法。
下面给出十种简捷巧妙的解法。供你参考。一、“抓住特征，逆施倒行”；二、“火眼金睛，一眼洞穿”；三、“观察思考，估算判断”；四、“多思少算，特值判断”；五、运动变化，巧用极端”；六、“数形结合，巧用直观”；七、“敢于排除，善于排除”；八、“注意平衡，巧用对称”；九、“等价转化，活用定义”；十、“巧用蕴含，果断排除”。
以上十种方法，配合应用就可以使得选择填空题解答又快又准。比如，有些方程的解，我们可以翻过来用选择支代入验证，这就是逆向代入法，它比直接求解对号入座有时候要来得快。再比如估值法，某年一道高考题是说，一个正方体的表面积是a的平方，那么，它的外接球的表面积是：题目中给出了四个选择支，我们估计圆的表面积比它的内接正方体的表面积要大一些，但也大不到哪里去，有两个答案说，外接球的表面积，分别是正方体表面积的六倍多和九倍多，显然应该排除另一个选择支，所求的表面积是正方体表面积的1.01倍，显然，也不对。而剩下的一个选择支，球的表面积是正方体表面积的1.57倍，显然，它就应该是正确的选择题。我们这里只是对球的表面积进行了估算，就可以得到正确结果，还有许多高考选择填空题都可以用近似计算和估算的方法进行解答，估算也是一种能力，考试中心在命题的时候，特别提到提倡运用估值判断的方法。不用这样的方法，费时较多，用上这样的方法，简洁明快，它可以把不同层次的考生区别开来。
【Ignorance】老师，请您也讲讲填空题有哪些解答技巧好么？
【刘文武】高考的填空题近几年都是四个题目，每题四分，共16分，填空题因为没有了选择支的提示，因此，它只能通过解答来填空，能力上，就比选择填空题的解答要高一些，做好填空题重点在于基础知识要熟练，对于重要的函数性质，图形性质，要能够了然于胸，同时，运算要准确，因为填空题不设中间分，一丢就是四分，这是非常残酷的，不像后面的解答大题，它还有步骤分，一个大题你可能解不下来，但却可能拿到题目的一半分数，而选择题和填空题没有一半分数的问题，所以，要特别注意计算的准确，对概念理解的准确。
离高考只有三周的时间了，在这么短的时间里如何进行最有效的复习自然成了同学们关心的问题。
【Ignorance】请问老师，这3周时间里对于数学基础不太好的同学的复习，应当多做题目还是多看基础点？
【刘文武】离高考的时间只有三周了，对于基础稍差的同学应该回归课本，回归基础，要把课本上重要的定理、公式、定义、法则搞熟练，注意编制知识网络，对照书本的目录在脑子里过电影，争取能够把最基础的知识回忆起来，同时对于典型的例题，要梳理它的解题思路。在这样的基础上，适当地做一些中等偏下的题目，最后阶段，可以按照知识和方法把做过的模拟题进行梳理，找一找自己错误的地方和薄弱环节，然后，有目的的改错，这样使自己的基础再牢固一些。而不要去盲目地再做大量的题目。因为高考命题你是猜不到的，但是，高考的重点都是在考试说明当中，向全国考生和家长明示的，什么是重点？什么是基础？说得非常明白。因此，建议你在最后的三周里，再一次阅读考试说明，特别是阅读它的题型示例和样卷，详细地看它的解答以及评分标准，从中体会高考的要求，这样的话，目的明确，减少盲目性，把自己的精力用在最重要的地方。好钢要用在刀刃上，这样才会对提高自己的信心有帮助。
【Ignorance】大家都说湖南的学生考的分数高，但至少在我们这里不是。（就数学这一学科而言）我每次模拟考数学只能考70来分，但在我们班上这还算是前几名的。我真的很失望，不知道现在该怎样提高了。看着同学们一个个都对数学这门放弃了，但我觉得我不能，我希望能在这剩下的3周里提高一点是一点。请问老师我现在该怎样复习？是多做题还是把基础点扎扎实实搞清楚？
【《当代教育·高考大咨询》编导】要相信自己，心理因素很重要。在最后的复习阶段，希望你不要放弃数学，毕竟在高考成绩中它占的分值还是比较高的。
【刘文武】根据经验，对于你现在的情况，建议你回归课本，重视基础，把做过的题目按照知识和方法进行梳理、整理，总结解题经验，总结解题方法，可以告诉你一个现实的例子，有一位英语很好的女同学，数学原来很差，在最后的复习阶段，老师发现她平时很少看课本，有许多用课本上的知识就直接可以回答的问题，她却不知道在哪里，后来，老师点拨她，让她认真的把课本读上了两遍，特别是课本上带有总结性的章节小结的部分认真地读懂、领会，然后，再做一些基础题，这位同学平时的考试只有60多分，但是在高考当中，由于重视了基础，选择题、填空题答得比较好，结果考了100多分，被北京师范大学录取。这个例子说明，数学不能放弃，一部分同学的数学不好，并不是脑子问题，而是方法不当，注意了方法，注重了基础，注意了知识结构，注意了解题方法的梳理总结，注意查缺补漏，就可能使自己的成绩得到较大的提高，你的数学成绩在班里面排前几名，应该说是有实力的，考试不要单看分数，分数的高低和试卷的难度直接相关，题难分数就低，题目相对容易，分数就会高一些。近几年，随着扩招，每年的高考录取率比过去有了较大程度的提高，因而高考的命题也比过去稍有变化，总的趋势是降低难度，因此，要有信心，夺取今年高考的胜利。
高中数学分为立体几何、解析几何和代数，刘老师分别介绍了不同分类的数学的解题技巧和学习方法。
【拂晓飞虹666】老师您好：请问三角函数公式太多，作题时往往开始不知道用什么公式较容易？
【刘文武】三角公式太多，记忆时要注意它们的联系，我给你一个四字歌，可以帮助你记忆：三角知识，自成体系，记忆口诀，一二三四。一个定义，三角函数，两种制度，角度弧度。三套公式，牢固记忆，同角诱导，加法定理。同角公式，八个三组，平方关系，导数商数。诱导公式，两类九组，象限定号，偶同奇余。两角和差，欲求正弦，正余余正，符号同前。两角和差，欲求余弦，余余正正，符号相反。两角相等，倍角公式，逆向反推，半角极限。加加减减，变量替换，积化和差，和奇互变。三角公式的应用主要是用来化简、计算和证明。在化简和证明过程当中，要注意恰当的化弦（即把正切、余切、正割、余割化为正弦、余弦），变角注意到角之间的关系，比如，a=a＋b－b=a＋b/2＋（a－b）/2.2a=（a＋b）＋（a－b）.等等。这样，就可以快速地进行三角函数式的恒等变换。
【st032】关于数列的问题:请问老师，在做有关数列的问题时，往往是基础知识都懂，可有时候却觉得无从下手，怎么办？
【刘文武】关于数列的问题，高考中最重要的是两类基本数列，即等差数列和等比数列，要注意他们的定义、通项公式、前n项和公式，以及中项公式，要注意等差数列和等比数列的判定。比如，从通项公式上看，如果数列的通项公式是项数n的一次函数，或者是常函数，那么，这个数列就是等差数列。如果从前n项和的公式上来看，缺少常数项的二次函数才是等差数列，并且还要掌握数列的一些重要性质，比如，等差数列，距离首末两项，距离相等的任意两项的和，都与首末两项的和相等，当项数是奇数的时候，前n项的和等于中间项的n倍，对于等比数列，距离首末两项距离相等的任意两项的积都相等。这些性质在解题时都非常有用。又如，等差数列的片断和还是等差数列，等比数列的片断积仍是等比数列，将一个等比数列各项同次乘方，或者同取倒数，所得到的新数列仍是等比数列，两个等差数列对应项的和差构成的新数列，仍是等差数列，这些性质在解题时都可以带来很大的帮助，在解决数列问题时，要用到解方程组，要用到一次函数、二次函数、指数函数的性质。所以函数思想与方程思想是解决数列问题的重要方法。
【亮崽6】刘老师，能否讲一下关于做解析几何题的技巧？
【刘文武】先送你一个解析几何四字歌：一个方法，坐标解析。映射反演，数形结合。两个核心，两个问题。曲线方程，轨迹作图。三个公式，基本公式。定比分点，两点距离。斜率公式，坐标差比。四个公式，也很重要。平行垂直，点线距离。弦长公式，两线夹角。五种曲线，动点轨迹。直线与圆，椭圆双曲。抛物曲线，圆锥统一。定义方程，性质有趣。
平面解析几何是用代数的方法研究几何图形的一门学科，它非常重要的思想是数形结合的思想，映射反演的思想，它把几何问题通过建立坐标系，用数队来表示点，用方程表示曲线，把几何问题转化为代数问题，把曲线的交点问题，转化为方程组的实数解的问题。平面解析几何里面最基本的公式有三个：一个是两点间的距离公式，一个是定理分点公式，一个是两点连线的斜率公式。它把几何的三个基本量，即点、距离、方向都用代数的方法表示出来，解决平面解析几何的问题也要注意与平面几何的知识相结合。同时，还要对各种曲线的定义有深刻的理解，对各种曲线的标准方程有准确的记忆，定义反过来就是性质，应该从不同的侧面来认识各种曲线，比如，圆它是平面上到一个定点的距离等于定长的点的轨迹，同时，它又是到两个定点的距离的比，等于一个不等于1的正的常数的点的轨迹，再比如，平面上到两个定点的距离的平方和等于常数的点的轨迹，也是圆。这样我们就从不同的侧面更全面地认识圆，再比如圆锥曲线，有第一定义，还有第二定义，以及统一定义。它是平面上到定点的距离和到定直线距离的比等于常数的点的轨迹。这个定点叫做焦点。定直线叫做准线，常数叫做离心率。这个常数在O、1之间时，曲线是椭圆，常数是1时，曲线是抛物线，常数大于1时，曲线是双曲线。第一种定义和第二种定义的灵活转换常常是打开解析几何思路的钥匙。同时，还要注意记一些重要的结论，比如，等轴双曲线的离心率是根号2，反过来，离心率是根号2的双曲线就一定是等轴线双曲线，它的两条渐进线互相垂直。再比如，双曲线的焦点到任意一条渐进线的距离等于虚半轴的长，这个性质是教科书上的一个习题。再比如，过圆锥曲线的焦点与圆锥曲线的轴垂直的直线，与圆锥曲线相交所截得的线段叫做圆锥曲线的通径，它的长度在抛物线是2P。在椭圆和双曲线是2倍的b平方除以a。这些重要的知识点，在解题时特别是选择和填空题都可以直接应用。
【st032】复数:刘老师，能不能给我讲解一下关于做复数题的一些思路或方法呢？或是一些解题技巧？非常感谢！
【刘文武】复数问题重点是掌握复数的概念与运算，掌握运算的几何意义，对于复数的三角形式要搞清楚辐角及辐角主值，搞清楚复数的模，搞清楚复数加法和减法的几何意义，复数三角形式的乘法对应于向量的伸缩和旋转，复数开放的几何意义，一个复数的n个n次方根，对应于复平面上n个点，这n个点构成圆内接正n边形的n个顶点，复数近几年，总的难度是在基础和中档部分，不要刻意拔高，求难。
【st032】几何:请问老师，在做立体几何时，往往会和一些平面几何的知识混淆，这该怎么办？而且有些时候那种“立体感”不是很强，这该怎么办？
【刘文武】对于立体几何要特别注意它和平面几何的区别与联系，平面几何当中没有，而立体几何当中独有的知识往往是高考立体几何命题的重点。比如，两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角的平面角，这些概念和计算，做图和画法都是命题的热点。再如，多面体和旋转体的侧面积、体积的计算也是高考命题的热点。高考立体几何往往以特殊的图形为载体，考察空间直线和平面的位置关系，特别是垂直关系。因此，高考立体几何的复习，要以垂直和平行为纲，把立体几何的有关定理进行梳理。比如，判定两条直线垂直的定理有哪些？判定直线和平面垂直的条件都有哪些。判定两个平面垂直的条件有哪些？判定两条直线平行，直线和平面平行，平面和平面平行的条件都有哪些？将他们进行分类梳理以后，你的立体知识几何体系就在脑子中建立了起来。给你一个建议，以一个正方体为载体，因为正方体有八个顶点、12条棱、6个面，有12条面对角线、有4条体对角线、有一个对称中心。在它里面，线线、线面、面面的平行、垂直、相交，各种位置关系都可以找到。我们可以把立体几何第一章里面12个定理和四个公理都纳入到正方体当中，从而加深理解。加深记忆。在解答有关线面位置关系问题时，如果以正方体做背景，往往容易联想，因此，正方体是你应该特别注意的一个几何体。再比如，等边圆锥也就是轴截面是等边三角形的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，命题专家们非常青睐这几个特殊的几何体。翻来复去的，以他们为载体，命制立体几何试题。立体几何许多题目都可以在课本上找到原形，立体几何一般的题目，一般是基础性和中档题，不会出难题，因此，立体几何的分数是应该下决心拿到的。
【Ignorance】请问刘老师，关于解反函数题目有什么好的建议吗？
【刘文武】你提的问题很好，代数知识是以函数为中心的，或者说是函数为纲的，关于函数知识，也给你一个四字歌。函数一二三四，一个定义，原反函数；（映射，一一映射、逆映射），二个集合，定义值域；二条性质，单调、奇偶、循环周期；四块重点，求解析式、判断性质、图象变换、最值应用。
你提到的问题我建议你去登陆一个网站，www.student.gov.cn，它是北京科技网下面一个学生科技网，其中有一个栏目叫数理化漫谈，我在里面写了一篇文章，叫做“原函数、反函数、单调性、奇偶性及其相互关系”。其中，对课本上有关原函数、反函数的单调性、奇偶性及其相互关系的有关例题、习题以及复习参考题所包含的一些解题规律进行了整理。比如，原函数和反函数在对应的区间上单调性相同，原函数和反函数对定义域和值域互换，图象关于直线Y=x对称，奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反。一般来说，偶函数不存在反函数，如果奇函数存在反函数，则反函数也是奇函数，奇函数如果在原点有定义，则它的图象一定经过坐标原点，这些知识综合起来，就可以用来解决一些有关函数的题目。有时候，只需要思考就可以解答。刚才提到的网站，是一个官方网站，它是北京市科委和团中央青少年部联合举办的，是免费的，你可以去详细地看一看那篇文章。
《解读考试说明－数学篇》 《解读考试说明－数学篇》
【dream35】请问编导:高考大咨询节目中的"数学篇"什么时候播呀？我很想看看。
【《当代教育·高考大咨询》编导】《数学篇》共有两期，《如何作好选择题》5月13日已在《当代教育－－高考大咨询》中播出，《数型结合巧解题》将在5月20日以后播出，具体播出日期请注意收看我们的节目预告。《当代教育－－高考大咨询》播出时间为每天19：30－－20：00，第二天早上7：10重播。
【亮崽6】编导您好，近一段时间本台有数学实题讲解吗？
【《当代教育·高考大咨询》编导】《数学篇》主要是依据《考试说明》来讲解数学应试技巧，在《如何作好选择题》和《数型结合巧解题》两期节目中，两位专家都结合了具体实例做深入浅出地分析，欢迎收看。
结束语
【刘文武】再有三周同学们就要上考场了，高考可以说是同学们的成人仪式，你们要接受国家的挑选，将来，挑起振兴中华的重任，老师在央视网站预祝你们取得高考的成功，预祝你们进入理想的大学深造。在高考的最后阶段，信心是特别重要的，一定要满怀信心上考场，充分发挥自己的水平，展示自己的能力和风采。再见！
【《当代教育·高考大咨询》编导】虽然今天的数学咨询在线结束了，但我们的《高考大咨询》仍在继续，希望大家继续关注我们的节目，也希望它能给您带来一些帮助，祝所有的考生发挥出自己的水平，取得好成绩。再见。
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